무한대에서의 로피탈 정리

문제

$(a,b)$에서 미분가능한 $f,g$가 다음 조건을 만족시킨다.

• $\lim_{x \rightarrow a+} f(x) =\lim_{x \rightarrow a+} g(x)= \infty$
• $\lim_{x \rightarrow a+}{\frac{f’(x)}{g’(x)} = \infty}$

이 때 $\lim_{x \rightarrow a+}\frac{f(x)}{g(x)} = \infty$임을 보이시오.

증명

$\forall M >0$에 대하여 다음 식을 만족하는 $\beta_m$이 존재한다.

$$x \in (a, \beta_m) \Rightarrow M < \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

이제 $x<y$, $[x,y] \subset (a,\beta_m)$인 $x,y$를 고려하자. 이때, 다음 식을 만족하는 $c_{x,y}$가 $c_{x,y} \in (x,y)$에 존재한다.

$$\frac{f'(c_{x,y})}{g'(c_{x,y})} = \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} = \frac{\frac{f(x)}{g(x)}- \frac{f(y)}{g(x)}}{1-\frac{g(y)}{g(x)}}$$

이때 고정된 $y$에 대하여 다음과 같은 양수 $r$이 존재한다.

$$x \in (a, a+r) \subset (a,y) \Rightarrow \left| \frac{g(y)}{g(x)} \right| < \frac{1}{2} \text{ and } \left| \frac{f(y)}{g(x)} \right| < \frac{1}{2}$$

이제 $x \in (a, a+r) $ 이면, $c_{x,y} \in (a, \beta_m)$이므로, 다음이 성립한다.

$$M < \frac{f'(c_{x,y})}{g'(c_{x,y})} = \frac{\frac{f(x)}{g(x)}- \frac{f(y)}{g(x)}}{1-\frac{g(y)}{g(x)}} < \frac{\frac{f(x)}{g(x)}+\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2}}$$

따라서 $\frac{M-1}{2} <\frac{f(x)}{g(x)}$이므로 주어진 명제가 성립한다.