특정조건에서의 미분가능성

문제

실수에서 연속이고, $0$을 제외한 점에서 미분가능한 함수 $y=f(x)$에 대하여 $\lim_{x \rightarrow 0} f’(x) = \alpha $라 할때, $f(x)$ 는 $x=0$에서 미분가능하고 $f’(0)= \alpha$ 이다.

증명

$f(0)=0 , \alpha = 0$ 으로 가정해도 일반성을 잃지 않는다.( $g(x)=f(x)-\alpha x -f(0)$ 고려하면 된다.)

$\lim_{x \rightarrow 0} f’(x) = \alpha$ 이므로, 다음이 성립한다.

\begin{equation} \label{eq:1} \forall \epsilon \exists \delta >0 ~(0<|x|< \delta \Rightarrow |f’(x)| < \epsilon ) \end{equation}

이제 $0<|h|< \delta$에 대하여 평균값 정리에 의하여, $0$과 $h$ 사이에 다음 식을 만족하는 $x_h$가 존재한다. 이때, \begin{equation} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f’(x_h) \end{equation} 따라서 $|\frac{f(h)}{h}| = |f’(x_h)|$가 성립한다. 한편 $0<|x_h|<\delta$ 이므로 다음이 성립한다. \begin{equation} |\frac{f(h)}{h}| = |f’(x_h)|< \epsilon \end{equation}

따라서 정리하면 다음 식이 성립한다. \begin{equation} \forall \epsilon \exists \delta >0 ~(0<|h|< \delta \Rightarrow |\frac{f(h)-0}{h}| < \epsilon ) \end{equation}

즉, 다음이 성립한다. $f'(0)=\alpha$